f-vectors of random polytopes

Let K be a compact convex body in R, let Kn be the convex hull of n points chosen uniformly and independently in K, and let fipKnq denote the number of i-dimensional faces of Kn. We show that for planar convex sets, Erf0pKnqs is increasing in n. In dimension d ě 3 we prove that if limnÑ8 Erfd ́1pKnqs An “ 1 for some constants A and c ą 0 then the function n ÞÑ Erfd ́1pKnqs is increasing for n large enough. In particular, the number of facets of the convex hull of n random points distributed uniformly and independently in a smooth compact convex body is asymptotically increasing. Our proof relies on a random sampling argument. Key-words: Computational geometry, Stochastic geometry, Convex hull, Complexity . Part of this work is supported by: ANR blanc PRESAGE (ANR-11-BS02-003) ̊ Projet Geometrica, INRIA Sophia Antipolis Méditerranée : Projet Geometrica, INRIA Saclay Île de France ; Projet Vegas, INRIA Nancy Grand Est § Projet Vegas, INRIA Nancy Grand Est ¶ Institut für Mathematik, Universität Osnabrück, 49069 Osnabrück, Germany. ha l-0 07 58 68 6, v er si on 1 29 N ov 2 01 2 Monotonie des f-vecteurs de polytopes aléatoires Résumé : Soit K un domaine convexe et compact de R, Kn l’enveloppe convexe de n points choisis uniformément et indépendamment dans K, et fipKnq le nombre de faces de Kn de dimension i. Nous montrons que pour des convexes du plan, Erf0pKnqs est croissant avec n. En dimension d ě 3 nous montrons que si limnÑ8 Erfd ́1pKnqs An “ 1 pour des constantes A et c ą 0 alors la fonction n ÞÑ Erfd ́1pKnqs est croissante pour n suffisamment grand. En particulier, le nombre de facettes de l’enveloppe convexe de n points aléatoires distribués uniformément et indépendamment dans un convexe compact à bord lisse est asymptotiquement croissant. Notre démonstration utilise un argument d’échantillonnage aléatoire. Mots-clés : Géométrie algorithmique, Géométrie stochastique, Enveloppe convexe, Complexité. ha l-0 07 58 68 6, v er si on 1 29 N ov 2 01 2 The monotonicity of f -vectors of random polytopes 3